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In matemáticas on Noviembre 11, 2009 at 1:00 pm
4. Sea n un entero impar y sean
números reales distintos. Sea M el mayor de estos números y sea m el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos en la expresión
de modo que
.
5. Considera un trángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es el punto medio de BC.
6. En una fiesta con n personas, se sabe que entre cualesquiera 4 personas hay (al menos) 3 de las cuales se conocen entre sí o se desconocen entre sí. Demuestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de forma que en un salón todos se conozcan entre sí y en el otro no haya dos personas que se conozcan entre sí. Nota: conocerse se considera una relación mutua.
Día 1: link
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In matemáticas, math on Noviembre 9, 2009 at 2:48 pm
Examen realizado en Campeche, el 9 de noviembre de 2009
1. Sea ABC un triángulo y AD la altura sobre el lado BC. Tomando a D como centro y a AD como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta AB en P y corta a la recta AC en Q. Muestra que el triángulo AQP es semejante al triángulo ABC.
2. En cajas marcadas con los números 0, 1, 2, 3, … se colocarán todos los enteros positivos de acuerdo a las siguientes reglas:
- Si
un número primo, éste se coloca en la caja con el número 1.
- Si el númer
se coloca en la caja con el número
y
se coloca en la caja
entonces el producto de
y
, es decir
, se coloca en la caja con el número
.
Encuentra todos los enteros positivos
que cuando se coloquen, queden en la caja con el número
.
3. Sean
números reales positivos tales que
. Muestra que
y que
.
Día 2: link