Un caprichoso mandarín

Olimpiada Mexicana de Matematicas 2009 – día 2

In matemáticas on Noviembre 11, 2009 at 1:00 pm

4. Sea n un entero impar y sean $a_1,a_2,\ldots , a_n$ números reales distintos. Sea M el mayor de estos números y sea m el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos en la expresión $a_1\pm a_2\pm \cdots \pm a_n$ de modo que $m < s < M$ .

5. Considera un trángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es el punto medio de BC.

6. En una fiesta con n personas, se sabe que entre cualesquiera 4 personas hay (al menos) 3 de las cuales se conocen entre sí o se desconocen entre sí. Demuestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de forma que en un salón todos se conozcan entre sí y en el otro no haya dos personas que se conozcan entre sí. Nota: conocerse se considera una relación mutua.

Día 1: link

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Mecánica

In Uncategorized on Noviembre 11, 2009 at 10:17 am

Lo único que puedo hacer son trabajos mecánicos, pero incluso un trabajo mecánico necesita criterio, que algunos no parecen tener.

¿Cual es el argumento?

Razón

(aclaro que sólo deshizo la reversión después de llevar el tema al café, lo cual fue necesario ya que es de los que protegen su página de discusión)

Y a los que me exigen y piden disculpas, les digo que no me disculparé hasta que actúen en consecuencia y les exijan disculpas/sanciones a quienes están violando políticas oficiales. Ejemplos:

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Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2009 – día 1

In matemáticas, math on Noviembre 9, 2009 at 2:48 pm

Examen realizado en Campeche, el 9 de noviembre de 2009

1. Sea ABC un triángulo y AD la altura sobre el lado BC. Tomando a D como centro y a AD como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta AB en P y corta a la recta AC en Q. Muestra que el triángulo AQP es semejante al triángulo ABC.

2. En cajas marcadas con los números 0, 1, 2, 3, … se colocarán todos los enteros positivos de acuerdo a las siguientes reglas:

Si $p$ un número primo, éste se coloca en la caja con el número 1.
Si el númer $a$ se coloca en la caja con el número $m_a$ y $b$ se coloca en la caja $m_b$ entonces el producto de $a$ y $b$ , es decir $ab$ , se coloca en la caja con el número $am_b + bm_a$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que cuando se coloquen, queden en la caja con el número $n$ .

3. Sean $a,b, c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Muestra que $\frac{a^3}{a^3+2} + \frac{b^3}{b^3 +2} + \frac{c^3}{c^3+2} \ge 1$ y que $\frac{1}{a^3+2} + \frac{1}{b^3+2}+\frac{1}{c^3+2}\le 1$ .