4. Sea n un entero impar y sean 
5. Considera un trángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es el punto medio de BC.
6. En una fiesta con n personas, se sabe que entre cualesquiera 4 personas hay (al menos) 3 de las cuales se conocen entre sí o se desconocen entre sí. Demuestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de forma que en un salón todos se conozcan entre sí y en el otro no haya dos personas que se conozcan entre sí. Nota: conocerse se considera una relación mutua.
Día 1: link
¿pero esto lo ha de contestar la gente que pasa por aquí?
si lo desea
Te hago la del triangulo que es la más fácil. Si M es el centro de BC, el triangulo es isosceles. Entonces 1PM y PQ tienen el mismo angulo con AM y por tanto cortan a PB y QC respectivamente, a la misma distancia de B y C respectivamente por lo que QP es paralela a BC y por tanto perpendicular a AM, que es la altura del triangulo. (Ya se que había que hacerlo usando las relaciones entre los ángulos pero me encanta el pensamiento lateral).
Esto de la fiesta… si hay cuatro de los cuales tres se conocen se cumple pero si añades uno más -tanto si se conoce con los otros como si no- ya no se cumple el enunciado por lo que parece que en la fiesta no pueden haber más de cuatro y en los 2 salones hay que poner en uno a los tres que se conocen y en el otro el solateras solanas.
Entendiste mal el problema.
“Hay 3 que se conocen” significa “hay al menos 3″ (podrían conocerse los 4)
Uy, ahora lo entiendo. Los del salón que no se conocen, no se conocen entre sí pero puede ser que consozcan a gente del otro salón. Yo pensaba que habían dos clases, los que conocen a alguien y los que no conocen a nadie. Entonces era trivial incluso aceptando “tres” como “por lo menos tres”. Me retiro de la Olimpiada antes que me saquen a palos.